ზოგადად, ნებისმიერი მატრიცისთვის, საკუთრივ ვექტორები ყოველთვის არ არის ორთოგონალური. მაგრამ სპეციალური ტიპის მატრიცისთვის, სიმეტრიული მატრიცისთვის, საკუთრივ მნიშვნელობები ყოველთვის რეალურია და შესაბამისი საკუთრივვექტორები ყოველთვის ორთოგონალური.
არის თუ არა საკუთარი მნიშვნელობების საკუთრივ ვექტორები ყოველთვის ორთოგონალური?
აუცილებლად არა ყველა ორთოგონალური. თუმცა ორი საკუთრივვექტორი, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა საკუთრივ მნიშვნელობებს, არის ორთოგონალური. მაგ. ვთქვათ X1 და X2 იყოს A მატრიცის ორი საკუთრივვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ1 და λ2 საკუთრივ მნიშვნელობებს, სადაც λ1≠λ2.
აქვს თუ არა ყველა სიმეტრიულ მატრიცას ორთოგონალური საკუთრივვექტორები?
თუ A სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობები განსხვავებულია, X მატრიცას, რომელსაც აქვს შესაბამისი საკუთრივექტორები, აქვს თვისება, რომ X X=I, ე.ი. X არის ორთოგონალური მატრიცა.
შეიძლება არასიმეტრიულ მატრიცას ჰქონდეს ორთოგონალური საკუთრივექტორები?
სიმეტრიული პრობლემისგან განსხვავებით, არასიმეტრიული მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები a არ ქმნიან ორთოგონალურ სისტემას. და ბოლოს, მესამე განსხვავება არის ის, რომ არასიმეტრიული მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობები შეიძლება იყოს რთული (ისევე როგორც მათი შესაბამისი საკუთრივექტორები).
არის თუ არა საკუთრივ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელი?
საკუთრივ ვექტორები, რომლებიც შეესაბამება ცალკეულ საკუთრივ მნიშვნელობებს, წრფივად დამოუკიდებელია. შედეგად, თუ მატრიცის ყველა საკუთრივ მნიშვნელობები განსხვავებულია, მაშინ მათი შესაბამისი საკუთრივვექტორები მოიცავს სვეტის ვექტორების სივრცეს, სადაცმატრიცის სვეტები ეკუთვნის.
