ზოგადად, წერტილოვანი კონვერგენცია არ გულისხმობს კონვერგენციასზომით. თუმცა, სასრული საზომი სივრცისთვის, ეს მართალია და რეალურად ამ განყოფილებაში დავინახავთ, რომ უფრო მეტი სიმართლეა.
კონვერგენცია თითქმის ყველგან გულისხმობს ზომით კონვერგენციას?
საზომი სივრცე ყოველთვის სასრულია, რადგან ალბათობის ზომები ანიჭებს ალბათობას 1 მთელ სივრცეს. სასრულ ზომის სივრცეში, თითქმის ყველგან კონვერგენცია გულისხმობს ზომების კონვერგენციას. ამიტომ თითქმის კონვერგენცია გულისხმობს კონვერგენციას ალბათობა.
ნიშნავს თუ არა წერტილოვანი კონვერგენცია უწყვეტობას?
მიუხედავად იმისა, რომ თითოეული fn უწყვეტია [0, 1]-ზე, მათი წერტილოვანი ზღვარი f არ არის (ის წყვეტილია 1-ზე). ამრიგად, წერტილოვანი კონვერგენცია, ზოგადად, არ ინარჩუნებს უწყვეტობას.
L1-ში კონვერგენცია გულისხმობს წერტილოვან კონვერგენციას?
ასე რომ, წერტილის კონვერგენცია, ერთგვაროვანი კონვერგენცია და L1 კონვერგენცია არ გულისხმობს ერთმანეთს. თუმცა გვაქვს რამდენიმე დადებითი შედეგი: თეორემა 7 თუ fn → f L1-ში, მაშინ არის fnk ქვემიმდევრობა ისეთი, რომ fnk → f წერტილით a.e.
რა არის კონვერგენცია ზომების თეორიაში?
მათემატიკაში, უფრო კონკრეტულად გაზომვის თეორიაში, არსებობს ზომების კონვერგენციის სხვადასხვა ცნება. ინტუიციური ზოგადი გაგებისთვის, თუ რას ნიშნავს ზომაში კონვერგენცია, განიხილეთზომების თანმიმდევრობა μ სივრცეში, იზიარებს საერთო კოლექციასგაზომვადი კომპლექტების.