ნაწილობრივი წარმოებულები და უწყვეტობა. თუ f: R → R ფუნქცია დიფერენცირებადია, მაშინ f არის უწყვეტი. f ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები: R2 → R. f: R2 → R ისეთი, რომ fx(x0, y0) და fy(x0, y0) არსებობს, მაგრამ f არ არის უწყვეტი (x0, y0).
როგორ იცით, ნაწილობრივი წარმოებული არის თუ არა უწყვეტი?
დავუშვათ (a, b)∈R2. შემდეგ, მე ვიცი, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები არსებობს და fx(a, b)=2a+b და fy(a, b)=a+2b. უწყვეტობის შესამოწმებლად, lim(x, y)→(a, b)fx(x, y)=lim(x, y)→(a, b)2x+y=2a+b=fx(a, b).
რა არის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები?
1.1.
V (x)=(x 1 + x 2) 2 ვექტორის x-ის ყველა კომპონენტისთვის არის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებული V(x); როდესაც x=0, V(0)=0, მაგრამ არა ნებისმიერი x ≠ 0, გვაქვს V(x) > 0, მაგალითად, როდესაც x1=−x 2, გვაქვს V(x)=0, ამიტომ V(x) არ არის დადებითი განსაზღვრული ფუნქცია და არის ნახევრადდადებითი განსაზღვრული ფუნქცია.
იგულისხმება თუ არა ნაწილობრივი დიფერენციალურობა უწყვეტობა?
ერთი დასკვნა: ნაწილობრივი წარმოებულების არსებობა საკმაოდ სუსტი მდგომარეობაა, რადგან ის არ იძლევა უწყვეტობის გარანტიას! დიფერენციალურობა (კარგი წრფივი მიახლოების არსებობა) გაცილებით ძლიერი პირობაა.
იგულისხმება თუ არა დიფერენციაცია ნაწილობრივი წარმოებულების არსებობას?
დიფერენცირებადობის თეორემა აცხადებს, რომ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები საკმარისია იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი. …დიფერენციალურობის თეორემის საპირისპირო არ არის ჭეშმარიტი. შესაძლებელია დიფერენცირებად ფუნქციას ჰქონდეს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები.
