შენიშვნა: მართალია, რომ ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა შეიცავს კონვერგენტულ ქვემიმდევრობას, და უფრო მეტიც, ყველა მონოტონური თანმიმდევრობა იყრის თავს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის შემოსაზღვრულია. დამატებულია იხილეთ ჩანაწერი მონოტონური კონვერგენციის თეორემაზე მეტი ინფორმაციისთვის შემოსაზღვრული მონოტონური მიმდევრობების გარანტირებული კონვერგენციის შესახებ.
ერთდება თუ არა ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა R-ში?
თეორემა აცხადებს, რომ თითოეული შემოსაზღვრული მიმდევრობა R-ში აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა. ეკვივალენტური ფორმულირება არის R-ის ქვესიმრავლე არის თანმიმდევრულად კომპაქტური, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის დახურულია და შეზღუდულია. თეორემას ზოგჯერ უწოდებენ თანმიმდევრული კომპაქტურობის თეორემას.
ნამდვილი რიცხვების ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა კონვერგენტულია?
პასუხი და ახსნა: (ა) არის თუ არა ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა კონვერგენტული? არა.
ერთდება თუ არა ყველა შემოსაზღვრული მონოტონური თანმიმდევრობა?
არა ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა, როგორიცაა (−1)n, კონვერგია, მაგრამ თუ ვიცოდით, რომ შემოსაზღვრული მიმდევრობა იყო ერთფეროვანი, მაშინ ეს შეიცვლება. თუ ≥ an+1 ყველა n ∈ N-ისთვის. თანმიმდევრობა მონოტონურია, თუ ის იზრდება ან მცირდება. და შემოსაზღვრულია, შემდეგ ის იყრის თავს.
აქვს ყველა შემოსაზღვრულ მიმდევრობას კონვერგენტული ქვემიმდევრობა?
ბოლცანო-ვაიერშტრასის თეორემა: Rn-ში ყველა შემოსაზღვრულ მიმდევრობას აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა. {xmk }-ის არის რეალური რიცხვების შეზღუდული მიმდევრობა, ამიტომ მასაც აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა,… პირიქით, ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობა არისდახურული და შემოსაზღვრული სიმრავლე, ამიტომ მას აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა.
